El Principio de Incertidumbre · Tejidos de Realidad

Elige un estado y mueve su ancho con el control o con las flechas. Pulsa «Preparar 200 copias y medir» varias veces y mira cómo se llenan los dos histogramas. Luego cambia la imprecisión de los detectores y vuelve a medir.

¿Qué estás viendo?

Dos distribuciones, un solo estado.

Arriba, la probabilidad de encontrar la partícula en cada posición. Abajo, la probabilidad de encontrar cada momento. Las dos curvas salen de la misma función de onda: no son dos objetos, son dos maneras de leer el mismo estado. Estrecha la de arriba y la de abajo se ensancha; ensancha la de arriba y la de abajo se estrecha.

El libro lo pone así en el Cap. 3 · §3.3.3: σx es la desviación estándar de las mediciones de posición sobre un conjunto de sistemas preparados en el mismo estado, y σp es la análoga para el momento. Por eso el simulador no mide una sola partícula dos veces. Prepara copias idénticas, mide la posición en la mitad y el momento en la otra mitad, y cada copia se mide una sola vez. Las barras son esas mediciones; la curva es lo que el estado predice.

La posición va en nanómetros, el tamaño de unas pocas moléculas. El momento va en ħ/nm para que la cota se lea sin constantes: σx · σp ≥ ħ/2 se vuelve σx · σp ≥ 0,5 en esas unidades, y la lectura lo expresa como múltiplo de ħ/2. Si la partícula es un electrón, un paquete de medio nanómetro ya obliga a su velocidad a dispersarse en más de cien kilómetros por segundo.

La física, en una línea · Cap. 3 · §3.3.3

Una cota inferior.

σx · σp ≥ ħ / 2

σxdesviación estándar de las posiciones medidas en copias preparadas igual
σpdesviación estándar de los momentos medidos en otras copias del mismo estado
ħconstante de Planck reducida, 1,054 571 817 × 10⁻³⁴ J·s

Heisenberg presentó la idea en 1927 con un experimento mental, el microscopio de rayos gamma. Ese mismo año, Earle Kennard demostró la desigualdad tal como está escrita aquí, con desviaciones estándar, y en 1929 Howard Robertson la extendió a cualquier par de magnitudes cuyos operadores no conmutan. Es un teorema del formalismo cuántico: no depende de la tecnología disponible.

El signo «≥» importa. La relación no dice que el producto valga ħ/2; dice que nunca baja de ahí. Los paquetes gaussianos tocan la cota y cualquier otro estado queda por encima. Mueve el ancho de cualquiera de los tres estados y verás que σx y σp cambian, pero su producto depende solo de la forma del estado.

Tres estados, una cota

Cuánto queda por encima.

Paquete gaussiano

Una sola campana en posición y otra en momento. Es el estado de mínima incertidumbre: el producto vale exactamente ħ/2, sea cual sea el ancho.
ψ ∝ exp(−x² / 4σ²) · la igualdad
Dos paquetes a la vez

La superposición de dos campanas separadas. En momento aparecen franjas de interferencia, como en una doble rendija, y el producto supera la cota.
centros en ±2σ₀ · por encima de ħ/2
Primer excitado

El primer estado excitado de un oscilador armónico: un nodo en el centro y dos lóbulos. Su producto es tres veces la cota.
ψ ∝ x · exp(−x² / 4σ²) · 3 × ħ/2

El instrumento y el estado

Qué clase de límite es este.

El §3.3.3 distingue tres lecturas del principio. La primera, que es una limitación de los instrumentos y que mejores aparatos la superarán, es falsa. La segunda, que medir perturba y esa perturbación causa la indeterminación, es incompleta: la perturbación existe, pero la dispersión ya está en el estado antes de medir. La tercera es la que sostiene la física: el estado cuántico no admite distribuciones arbitrariamente estrechas a la vez en posición y en momento.

El simulador te deja comprobarlo. Con los detectores perfectos, sin ningún ruido, los histogramas conservan el ancho de las curvas: no se vuelven una raya. Con detectores imprecisos, los histogramas se ensanchan más, porque el error del aparato se suma al ancho del estado; ningún detector lo resta. Y como cada copia se mide una sola vez, no hay una medición de posición que estropee la de momento: la cota aparece igual.

El libro menciona un matiz reciente: Masanao Ozawa mostró en 2003 que la versión de Heisenberg sobre error y perturbación de una medición necesita corregirse en ciertos casos. La relación que ves aquí, la de Kennard y Robertson sobre la dispersión del estado, sigue valiendo sin cambios.

Física y lectura simbólica

Lo que la cota no dice.

Física. Que estrechar la posición ensancha el momento, que el producto de las dispersiones nunca baja de ħ/2 y que esa cota no la impone el detector: todo eso lo puedes ver aquí, con las curvas y con los histogramas. Qué significa que el estado no tenga valores definidos antes de medir depende de la interpretación que se adopte; todas predicen estos mismos histogramas.

Lectura simbólica. Que la incertidumbre demuestre que el observador crea la realidad, que la consciencia mueva las partículas o que funde el libre albedrío no se deriva del teorema. El simulador mide estados preparados, no intenciones: nadie cambia un histograma con la mente. Como dice el libro, la vecindad entre la indeterminación del mundo y la apertura de una vida puede ser fértil para el lenguaje contemplativo, siempre que se marque como simbólica y no como derivación.

El ancho es del estado.

Cinco gestos para leer el experimento

Lo que los histogramas dicen.

01
Con el paquete gaussiano, mueve el ancho de un extremo al otro: σx y σp cambian, pero su producto se queda en 1,00 × ħ/2.
02
Prepara copias y mira los histogramas: las mediciones se reparten con la forma de cada curva.
03
Deja los detectores perfectos y vuelve a medir: los histogramas no se vuelven una raya. Súbeles la imprecisión y se ensanchan más. El ancho de base es del estado.
04
Cambia a «Dos paquetes a la vez»: en el momento aparecen franjas de interferencia y el producto sube por encima de ħ/2.
05
Con pocas copias, el producto medido puede caer un poco por debajo de ħ/2. Mide más: el azar del muestreo se promedia y la cota se mantiene.

Lecturas y fuentes

Para seguir la cota.

Heisenberg, W. (1927) · Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik Zeitschrift für Physik, 43, 172–198 El artículo original, con el microscopio de rayos gamma y la mezcla de indeterminación y perturbación que el §3.3.3 separa.
Kennard, E. H. (1927) · Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen Zeitschrift für Physik, 44, 326–352 La primera demostración de σx · σp ≥ ħ/2 con desviaciones estándar, y del paquete gaussiano como caso de igualdad.
Robertson, H. P. (1929) · The Uncertainty Principle Physical Review, 34, 163–164 La forma general para cualquier par de observables que no conmutan.
Ozawa, M. (2003) · Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement Physical Review A, 67, 042105 Separa el error y la perturbación de una medición de la dispersión del estado.

Del paquete al átomo

La misma nube, en tres dimensiones.

El §3.4 entra en el átomo de hidrógeno. Ahí el electrón tampoco tiene una posición fija: cada orbital es una distribución de probabilidad, y su forma depende del estado, como las curvas de este simulador.

Del paquete al orbital: Orbitales

Otras puertas