El Monocordio

Una cuerda tensa sobre una caja de resonancia, dos puentes fijos en los extremos y un tercero que se mueve. Eso es todo el instrumento. El libro lo llama «el primer laboratorio de acústica» en la Voz del Tejido de Pitágoras, en el Cap. 1 · §1.1, y aquí lo tienes en las manos.

La regla de abajo tiene doce divisiones. Lleva el puente a la 6 y la parte A mide la mitad de la cuerda: suena una octava arriba, al doble de frecuencia. Llévalo a la 8 y la parte A mide dos tercios: suena una quinta. A la 9, tres cuartos: una cuarta. Los números 6, 8, 9 y 12 guardan entre sí las tres proporciones, y por eso la tradición los llamó números pitagóricos.

Fíjate en algo que el diagrama del libro no alcanza a mostrar: la parte B también suena, y también guarda razones con la cuerda entera y con la parte A. Con el puente en la 8, A y B forman una octava entre sí. Con el puente en la 6, son la misma nota. Mueve el puente despacio y mira cómo la lectura nombra cada coincidencia y se queda muda entre una y otra: entre las razones simples hay un continuo de razones que el oído no reconoce como consonancia.

Lo que el monocordio enseñó es que la consonancia, aquello que el oído percibe como un acorde limpio, corresponde a proporciones de números enteros pequeños. Por qué esas proporciones suenan limpias lo explicó Helmholtz en 1863: sus armónicos coinciden y casi no se rozan. Puedes oír esos armónicos en la estación Frecuencias. Cuánto nos gusta cada intervalo depende además de la cultura musical de quien escucha.

En 1747, D'Alembert escribió la ecuación de la cuerda vibrante y la resolvió con una idea sencilla: cualquier deformación se parte en dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Con los extremos fijos, cada una rebota invertida y vuelve, y la forma que ves en cada instante es su suma. El panel «Dentro de la cuerda», al final del simulador, te lo muestra en cámara lenta: suelta la cuerda, haz una pausa y mueve el instante a mano. Es la historia que cuenta la ecuación de onda en el Cap. 2 · §2.3.

Pocos años después, Daniel Bernoulli propuso otra lectura: la cuerda es una suma de armónicos, cada uno a un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, y Euler y D'Alembert la discutieron durante años. Sube los armónicos sumados y verás que las dos lecturas describen la misma cuerda: con pocos armónicos, la esquina del pulso se redondea; con veinte, la curva punteada casi no se separa de la cuerda.

Y hay una consecuencia que se oye: el punto donde pulsas decide qué armónicos suenan. Pulsa en el centro y desaparecen los pares; pulsa a un tercio y faltan el 3, el 6, el 9 y el 12, porque tienen un nodo justo ahí. Con el sonido activo, «Soltar la cuerda» te deja oír el cambio de timbre. Es la cuerda ideal de los libros, sin rigidez ni rozamiento: en una cuerda real, los armónicos altos se apagan antes y quedan un poco más agudos de lo que dice la cuenta.

Tradición. Que Pitágoras descubriera las razones al oír martillos en una herrería lo cuenta Nicómaco unos siete siglos después, y la física lo desmiente: el tono de un martillo no depende de su peso. La atribución del monocordio a Pitágoras en persona también es tradición; lo seguro es que la escuela pitagórica trabajó con estas proporciones. La «música de las esferas», la idea de que los planetas suenan según sus distancias, es tradición y no física: ninguna órbita emite un tono y en el vacío no hay aire que lo lleve. Kepler buscó en 1619 razones musicales entre las velocidades de los planetas; no encontró una música, pero en el camino dio con su tercera ley.

Física. Que la frecuencia de una cuerda es inversa a su largo, que la octava es 2:1, la quinta 3:2 y la cuarta 4:3, y que doce quintas puras no cierran siete octavas: todo eso lo puedes comprobar aquí, con el oído y con la lectura.

La consonancia tiene número.

El §1.1 cierra la Voz de Pitágoras con Chladni: arena sobre una placa que vibra, y cada frecuencia deja su figura. Es el paso de la cuerda, que vibra en una dimensión, a la placa, que vibra en dos.

De la cuerda a la placa: Cimática